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Calculs avec la fonction gamma

Calculs avec la fonction gamma


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La fonction gamma est définie par la formule complexe suivante:

Γ ( z ) = ∫0e - ttz-1dt

L'une des questions que se posent les utilisateurs lorsqu'ils rencontrent cette équation déroutante est la suivante: «Comment utilisez-vous cette formule pour calculer les valeurs de la fonction gamma?». Il s'agit d'une question importante car il est difficile de savoir ce que cette fonction signifie les symboles représentent.

Une façon de répondre à cette question consiste à examiner plusieurs exemples de calcul avec la fonction gamma. Avant de faire cela, nous devons savoir quelques notions de calcul, telles que la façon d’intégrer une intégrale impropre de type I, et que e est une constante mathématique.

Motivation

Avant de faire des calculs, nous examinons la motivation de ces calculs. Plusieurs fois, les fonctions gamma apparaissent dans les coulisses. Plusieurs fonctions de densité de probabilité sont énoncées en fonction de la fonction gamma. La distribution gamma et la distribution t des étudiants en sont des exemples. On ne saurait exagérer l’importance de la fonction gamma.

Γ ( 1 )

Le premier exemple de calcul que nous étudierons consiste à trouver la valeur de la fonction gamma pour (1). Ceci est trouvé en mettant z = 1 dans la formule ci-dessus:

0e - tdt

Nous calculons l'intégrale ci-dessus en deux étapes:

  • L'intégrale indéfiniee - tdt= -e - t + C
  • Ceci est une intégrale impropre, nous avons donc0e - tdt = limb → -e - b + e 0 = 1

Γ ( 2 )

Le prochain exemple de calcul que nous allons considérer est similaire au dernier exemple, mais nous augmentons la valeur de z par 1. On calcule maintenant la valeur de la fonction gamma pour Γ (2) en réglant z = 2 dans la formule ci-dessus. Les étapes sont les mêmes que ci-dessus:

Γ ( 2 ) = ∫0e - tt dt

L'intégrale indéfiniete - tdt=- te - t -e - t + C. Bien que nous ayons seulement augmenté la valeur de z par 1, il faut plus de travail pour calculer cette intégrale. Pour trouver cette intégrale, il faut utiliser une technique de calcul appelée intégration par parties. Nous utilisons maintenant les limites de l'intégration comme ci-dessus et devons calculer:

limb → - être - b -e - b -0e 0 + e 0.

Un résultat de calcul connu sous le nom de règle de L'Hospital nous permet de calculer la limiteb → - être - b = 0. Cela signifie que la valeur de notre intégrale ci-dessus est 1.

Γ (z +1 ) =zΓ (z )

Une autre caractéristique de la fonction gamma et qui la relie à la factorielle est la formule (z +1 ) =zΓ (z ) pour z tout nombre complexe avec une partie réelle positive. La raison pour laquelle cela est vrai est un résultat direct de la formule de la fonction gamma. En utilisant l'intégration par parties, nous pouvons établir cette propriété de la fonction gamma.



Commentaires:

  1. JoJobei

    L'idée remarquable

  2. Nerian

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  4. Molmaran

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    Avez-vous essayé vous-même?



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